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Calculadora de Matriz Inversa

Matriz A

Matriz quadrada de ordem 1 a 10. Linhas e colunas são sincronizadas. Use inteiros, decimais ou frações.

Resultado da Matriz Inversa

A matriz é singular: o determinante é zero e a inversa não existe.

Como utilizar a Calculadora de Matriz Inversa

Preencha uma única matriz A para encontrar sua inversa:

  1. Escolha a ordem de 1 a 10 em Linhas ou Colunas. Os dois campos ficam sincronizados.
  2. Confirme o tamanho com Enter ou saindo do campo e preencha cada célula com um inteiro, decimal ou fração, como 3/4.
  3. Leia a inversa atualizada abaixo da matriz ou clique em Calcular inversa para confirmar o tamanho informado.

Entradas vazias ou inválidas não são convertidas silenciosamente em zero. Use zero ou valores com módulo entre 10⁻¹² e 10¹².

A matriz A não é substituída pela inversa. Se A for singular ou numericamente instável, uma mensagem explica por que não há resultado confiável.

Exemplo de Inversa de uma Matriz 2×2

Considere a matriz A com linhas (4, 7) e (2, 6):

4
7
2
6

Primeiro, det(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 10. Troque 4 e 6 de posição, mude os sinais de 7 e 2 e divida todos os elementos por 10.

A−1=110(6−7−24)\mathbf{A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{pmatrix}}
3/5
-7/10
-1/5
2/5

O resultado tem linhas (3/5, −7/10) e (−1/5, 2/5). Multiplicando A por esta inversa, obtemos a identidade 2×2. Essa fórmula direta vale apenas para ordem 2.

O que é uma matriz inversa?

A inversa de uma matriz A é a matriz A⁻¹ que desfaz sua transformação linear. Seu produto com A, em qualquer uma das duas ordens, é a matriz identidade.

A matriz deve ser quadrada e não singular. Em aritmética exata, isso equivale a det(A) ≠ 0.

Propriedades da matriz inversa

  1. Identidade: I⁻¹ = I.
  2. Unicidade: quando existe, a inversa é única.
  3. Produto: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, se A e B forem invertíveis e da mesma ordem.
  4. Inversa da inversa: (A⁻¹)⁻¹ = A.
  5. Determinante: det(A⁻¹) = 1/det(A).

A inversa ajuda a estudar sistemas lineares e transformações reversíveis. Consulte a calculadora de determinante e confira o produto com a calculadora de multiplicação de matrizes.

Fórmulas e método da matriz inversa

Para ordem 1, inverta o único elemento não nulo. Para ordem 2, use a fórmula abaixo. A calculadora usa Gauss-Jordan com troca de linhas para obter [I | A⁻¹] a partir de [A | I].

AA−1=A−1A=I\mathbf{AA^{-1} = A^{-1}A = I}
[a]−1=[1/a],a≠0\mathbf{[a]^{-1} = [1/a], \quad a \ne 0}
A−1=1ad−bc(d−b−ca),ad−bc≠0\mathbf{A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}, \quad ad-bc \ne 0}
A⁻¹Inversa da matriz A.
IMatriz identidade da mesma ordem de A.
a, b, c, dElementos de uma matriz 2×2, lidos por linhas.

As operações são realizadas sobre uma cópia. Ambos os produtos, A × A⁻¹ e A⁻¹ × A, são verificados antes do arredondamento, com erro absoluto máximo de 10⁻⁸ por elemento. Matrizes quase singulares podem ser rejeitadas por instabilidade numérica.

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